在微积分学中，函数的可导性是一个非常重要的概念。可导性是指函数在某一点处是否存在导数，也就是函数在该点处的切线斜率是否存在。那么如何判断一个函数是否可导呢？
我们需要了解导数的定义。函数$f(x)$在$x=a$处可导，当且仅当下列极限存在：
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
这个极限就是函数$f(x)$在$x=a$处的导数，通常用$f'(a)$表示。如果这个极限存在，那么函数$f(x)$在$x=a$处就是可导的。
我们可以通过以下几种方法来判断一个函数是否可导：
1. 判断函数是否连续
如果函数在$x=a$处不连续，那么它在该点处一定不可导。因为导数的定义需要用到函数在该点处的极限，而函数不连续意味着它在该点处的极限不存在。
2. 判断函数是否有尖点或垂直渐近线
如果函数在$x=a$处有尖点或垂直渐近线，那么它在该点处也不可导。因为在这些点处，函数的斜率不存在，也就是导数不存在。
3. 判断函数是否有角点
如果函数在$x=a$处有角点，那么它在该点处也不可导。因为在这些点处，函数的左右导数不相等，也就是导数不存在。
4. 判断函数是否可微
如果函数在$x=a$处可导，那么它在该点处一定可微。可微是指函数在该点处的微分存在，也就是函数在该点处的变化率存在。
5. 判断函数是否满足柯西-黎曼条件
如果函数在$x=a$处满足柯西-黎曼条件，那么它在该点处可导。柯西-黎曼条件是指函数的实部和虚部都满足一阶偏导数存在且连续。
判断一个函数是否可导需要考虑函数的连续性、尖点、垂直渐近线、角点、可微性以及柯西-黎曼条件等因素。只有在这些条件都满足的情况下，函数才是可导的。
